中心极限定理与比例的抽样分布

1.中心极限定理

随着样本量的增加，无论个体值组成的总体的分布形状如何，均值的抽样分布都可以用正态分布来表示。

图1显示了三个不同群体平均值的抽样分布。对于每个群体，样本量有三种可能性:3、5和30。样本平均值的样本分布如图所示:

图l 对不同总体的均值的抽样分布

在图1中，描述了正态分布平均值的样本分布。当总体为正态分布时，样本均值的抽样分布是正态的，与样本大小无关。随着样本量的增加，样本间的均值差会变小。原因是随着样本量的增加，异常个体值对单个样本平均值的影响变小。

第1b部分描述了均匀分布类型的总体抽样分布。当样本量n为2时，分布存在峰值或中心趋势，中心附近样本平均值较多。当样本量n为5时，抽样分布呈钟形，接近正态分布。当样本量n为30时，抽样分布将非常接近正态分布。一般来说，样本空间越大，抽样分布越接近正态分布。与上面的例子一样，每个样本分布的平均值等于整个总体的平均值，并且随着样本空间的增加，差异将变得更小。

图1c描绘了右偏斜指数分布的采样分布。当n等于2时，抽样分布仍明显向右偏斜，但偏斜度小于总体分布。当n等于5时，采样分布几乎对称，只有轻微的右偏。当n等于30时，抽样分布接近正态分布。抽样分布的均值等于总体均值，变异程度随着样本空间的增大而减小。

这些统计分布中呈现的结果使天行健管理咨询公司能够得出图2中列出的结论:

图2 均值的抽样分布

2.比例抽样分布

最简单的质量数据是数据中的任何变量都可以分为两类的数据。例如，每一种发生的概率都服从二项分布。然而，当平均事件数和平均不发生事件数分别至少为5时，我们可以用正态分布来估计二项式分布。在大多数情况下，当我们从样本中推断群体的特征时，样本的大小通常不足以满足正态分布估计。